已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区

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已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-
1
2
f(x)-k的零点个数？（提示：[ln(1+x2)]′=
2x
1+x2
）
答案
（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx所以g′(x)=2x+2+
a
x
(x＞0)…（4分）
依题意，2x+2+
a
x
≥0或2x+2+
a
x
≤0在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+
1
2
)2+
1
2
在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+
1
2
)2+
1
2
在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3）h(x)=ln(1+x2)-
1
2
x2+1-k，令y=ln(1+x2)-
1
2
x2+1．
所以y′=
2x
1+x2
-x=-
(x+1)x(x-1)
x2+1
…（10分）
令y"=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：
举一反三
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x（-∞，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+∞）
y"+0-0+0-
h（x）单调递增极大值ln2+
1
2
单调递减极小值1单调递增极大值ln2+
1
2
单调递减
下列函数中，在区间（0，
π
2
）上是减函数的是（　　）
A．y=cosxB．y=sinxC．y=x2D．y=2x+1
已知f（x）是R上的减函数，则满足f（2x-1）＜f（1）的实数x的取值范围是______．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3）且g（x）=f（x-1），则f（2009）+f（2010）=______．
设f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)
（1）求证：f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)+…+f(
1
2008
)．
已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a=-2时，f（x）在区间(
1
4
，+∞)上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．