设f(x)=1-x21+x2(x∈R)(1)求证:f(1x)=-f(x),(x≠0);(2)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(13)+
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设f(x)=1-x21+x2(x∈R)(1)求证:f(1x)=-f(x),(x≠0);(2)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(13)+
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设
f(x)=
1-
x
2
1+
x
2
(x∈R)
(1)求证:
f(
1
x
)=-f(x),(x≠0)
;
(2)求值:
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)+…+f(
1
2008
)
.
答案
(1)因为
f(
1
x
)=
1-
(
1
x
)
2
1+
(
1
x
)
2
=
x
2
-1
x
2
+1
,f(x)=
1-
x
2
1+
x
2
,(4分)
所以
f(
1
x
)=-f(x),(x≠0)
;(6分)
(2)由(1)知
f(
1
x
)+f(x)=0
(3) (8分)
所以
f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)
.
=f(1)+f(2) (12分)
=
0+
-3
5
=-
3
5
(14分).
举一反三
已知函数f(x)=-2x
2
+(a+3)x+1-2a,g(x)=x(1-2x)+a,其中a∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值;
(2)用函数的单调性的定义证明:当a=-2时,f(x)在区间
(
1
4
,+∞)
上为减函数;
(3)当x∈[-1,3],函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象上方,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
sin(
π
2
-πx),(x≤0)
-
1
2
x-
1
2
,(x>0)
,则f(f(
1
2
))的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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判断函数f(x)=x
2
+2x在(-1,+∞)的单调性,并用函数单调性的定义给出证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列说法中正确的有______.
①一次函数在其定义域内只有一个零点;
②二次函数在其定义域至多有两个零点;
③指数函数在其定义域内没有零点;
④对数函数在其定义域内只有一个零点;
⑤幂函数在其定义域内可能有零点,也可能无零点;
⑥函数y=f (x)的零点至多有两个.
题型:填空题
难度:一般
|
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