(1)函数f(x)是偶函数 ∴f(x)=f(-x),即:-2x2+(a+3)x+1-2a=-2x2-(a+3)x+1-2a ∴a=-3 则f(x)=-2x2+7 ∴对称轴为x=0 ∴最小值f(3)=-11 (2)∵a=-2 ∴f(x)=-2x2+x+5 设x1<x2 ,x1、x2∈(,+∞) f(x1)-f(x2)=-2x12+x1+5+2x22-x2-5=(x2-x1)[2(x1+x2)-1] ∵x1<x2 ,∴x2>x1 ∵x1、x2∈(,+∞)∴2(x1+x2)>1∴2(x1+x2)-1>0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) ∴当a=-2时,f(x)在区间(,+∞)上为减函数. (3)由题意得-2x2+(a+3)x+1-2a>x(1-2x)+a在[-1,3]上恒成立.即(a+2)x+1-3a>0在[-1,3]上恒成立. 设h(x)=(a+2)x+1-3a, ①若a>-2,该函数是增函数,只需f(-1)>0即可, 则f(-1)=-4a-1>0,解得a<-,所以-2<a<-; ②若a<-2,该函数是减函数,只需f(3)>0即可, 则f(3)=7>0,,所以a<-2满足; ③若a=-2,则该函数是y=7,它总在x轴上方,所以a=-2满足要求. 故a的取值范围是a<-. |