设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0为常数.,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.
题型:解答题难度:一般来源:杭州一模
设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0为常数.,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值. |
答案
由条件得:f(x)= | (1-a)x-a当x≥a时 | -(1+a)x+a当x<a时 |
| | ,(4分) ∵a>0, ∴-(1+a)<0,f(x)在(-∞,a)上是减函数. 如果函数f(x)存在最小值, 则f(x)在[a,+∞)上是增函数或常数. ∴1-a≥0, 得a≤1, 又a>0,∴0<a≤1.(5分) 反之,当0<a≤1时, (1-a)≥0,∴f(x)在f[a,+∞)上是增函数或常数. -(1+a)<0,∴f(x)在(-∞,a)上是减函数. ∴f(x)存在最小值f(a). 综合上述f(x)存在最小值的充要条件是0<a≤1,此时f(x)min=-a2(3分) |
举一反三
已知f(x)=loga(a>0,a≠1). (1)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)当x∈(r,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求a与r的值; (3)若f(x)≥loga2x,求x的取值范围. |
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足(1)x>1时,f(x)<0;(2)f()=1;(3)对任意的x、y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),求不等式f(x)+f(5-x)≥-2的解集. |
设f(x)=-2x+1,已知f(m)=,求f(-m). |
关于函数f(x)=sin2x-()|x|+,有下面四个结论,其中正确结论的个数为( ) ①f(x)是奇函数②当x>2003时,f(x)>恒成立③f(x)的最大值是④f(x)的最小值是-. |
设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27,则f(m+n)=______. |
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