如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求证：f（xy）=f（x）-f（y）；（Ⅱ）已知f（3）=

题型：解答题难度：一般来源：不详

如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（Ⅱ）已知f（3）=1，且f（a）-f（a-1）＞2，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（ 

x

y

•y）=f（

x

y

）+f（y），
∴f（

x

y

 ）=f（y）-f（x）．                   …（4分）
（Ⅱ）∵f（3）=1，由条件f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（3）+f（3）=f（9），…（6分）
∵f（a）-f（a-1）＞2，由（1）得f（

a

a-1

）＞f（9）．
∵f（x）是增函数，∴

a

a-1

＞9．…（10分）
又a＞0，a-1＞0，∴1＜a＜

9

8

．
∴a的取值范围是1＜a＜

9

8

．…（12分）