已知x+2y=1,x∈R+,y∈R+,则x2y的最大值为______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知x+2y=1,x∈R+,y∈R+,则x2y的最大值为______. |
答案
法一:由x+2y=1,可得x=1-2y ∵x>0,y>0 ∴ ∴0<y< ∴x2y=(1-2y)2y=(1-2y)(1-2y)(4y)≤•()3 =×= 当且仅当1-2y=4y即y=,x=时取等号 则x2y的最大值为 故答案为 法二:由x+2y=1,可得x=1-2y ∴x2y=(1-2y)2y=4y3-4y2+y ∵x>0,y>0 ∴ ∴0<y< 令f(y)=4y3-4y2+y(0<y<),则f′(y)=12y2-8y+1 ∵0<y< 令f′(y)<0恒可得<y< 令f′(y)≥0可得0<y≤ ∴函数f(y)=4y3-4y2+y在(,)单调递减,在(0,]上单调递增 ∴当y=时取得最大值 故答案为 |
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),导函数为f′(x)=2+cosx,且f(0)=0,则满足f(1+x)+f(x-x2)>0的实数x的取值范围为( )A.(-1,1) | B.(-1,1+) | C.(1-,1) | D.(1-,1+) |
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已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]时f(x)=,则f(3)=( ) |
函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)•f′(x)<0,a=f(0),b=f(),c=f(3),则( )A.a<b<c | B.c<b<a | C.c<a<b | D.b<c<a |
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已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R). (Ⅰ)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求实数a,b的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. |
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-. (1)求x<0时,f(x)的解析式; (2)试确定函数y=f(x)(x≥0)单调区间,并证明你的结论. |
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