对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M,则称M为函数y=f (x)的“均值”

对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M,则称M为函数y=f (x)的“均值”

题型:解答题难度:一般来源:卢湾区二模
对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式
f(x1)+f(x2)
2
=M
,则称M为函数y=f (x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”,请说明理由;
(2)若函数f(x)=ax2-2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
答案
(1)对任意的x1∈[-1,1],有-x1∈[-1,1],
当且仅当x2=-x1时,有
f(x1)+f(x2)
2
=x1+x2+1=1

故存在唯一x2∈[-1,1],满足
f(x1)+f(x2)
2
=1

所以1是函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”.
(2)当a=0时,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为-3;
当a≠0时,由f(x)=ax2-2x(1<x<2)存在均值,可知对任意的x1
都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax2-2x(1<x<2)单调,
故有
1
a
≤1
1
a
≥2

解得a≥1或a<0或0<a≤
1
2

综上,a的取值范围是a≤
1
2
或a≥1.         
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”.
这时函数f(x)的“均值”为
a+b
2
; 
②当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”;     
③当I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]时,
函数f(x)不存在“均值”.             
①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时,函数f(x)存在唯一的“均值”.
这时函数f(x)的“均值”为
a+b
2
; 
②当且仅当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”;     
③当且仅当I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时,
函数f(x)不存在“均值”.
举一反三
函数f(x)=
5-4x+x2
2-x
在(-∞,2)上的最小值是(  )
A.0B.1C.


2
D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=





2x2-8ax+3 ,x<1
lo
gxa
,x≥1
在x∈R内单调递减,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f1(x)=
mx
4x2+16
f2(x)=(
1
2
)|x-m|
其中m∈R且m≠o.
(1)判断函数f1(x)的单调性;
(2)若m<一2,求函数f(x)=f1(x)+f2(x)(x∈[-2,2])的最值;
(3)设函数g(x)=





f1(x),x≥2
f2(x),x<2
当m≥2时,若对于任意的x1∈[2,+∞),总存在唯一的x2∈(-∞,2),使得g(x1)=g(x2)成立.试求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=8x的图象经过点(
1
3
,a)
,则f-1(a+2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是偶函数,x∈R,若将f(x)的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,又f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=(  )
A.-1003B.1003C.1D.-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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