已知定义在R上的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证f(x)是奇函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. |
答案
(1)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b), 令a=-b,得f(0)=f(a)+f(-a); 令a=b=0,得f(0)=2f(0), ∴f(0)=0. ∴f(a)+f(-a)=0(a∈R). ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)设x1<x2,x1、x2∈R,则x2-x1>0, ∵x>0时,f(x)<0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). ∴函数f(x)在R上是单调递减的. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3). ∵f(1)=-2, ∴f(2)=f(1)+f(1)=-4, f(3)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6. |
举一反三
已知函数f(x)=|arctan(x-1)|,若存在x1,x2∈[a,b],且x1<x2,使f(x1)≥f(x2)成立,则以下对实数a、b的描述正确的是( ) |
已知f(x)是R上不恒为零的函数,且对任意的a,b∈R,都满足f(ab)=af(b)+bf(a),则f(-1)的值是 ______. |
若对于任意实数m,关于x的方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,1) | B.(0,1] | C.[0,1] | D.(0,1) |
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设函数f(x)=|x-2a|,g(x)=|x+a|,a∈R. (1)令a=1,若存在x使得f(x)-g(x)≥m成立,求m的取值范围; (2)若f(x)+g(x)≥3恒成立,求a的取值范围. |
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