已知f(x)=loga1-x1+x,(a>0且a≠1).(1)若m,n∈(-1,1),求证f(m)+f(n)=f(m+n1+mn);(2)判断f(x)在其定义域

已知f(x)=loga1-x1+x,(a>0且a≠1).(1)若m,n∈(-1,1),求证f(m)+f(n)=f(m+n1+mn);(2)判断f(x)在其定义域

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=loga
1-x
1+x
,(a>0且a≠1).
(1)若m,n∈(-1,1),求证f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
);
(2)判断f(x)在其定义域上的奇偶性,并予以证明;
(3)确定f(x)在(0,1)上的单调性.
答案
(1)∵f(x)=loga
1-x
1+x
,∴
1-x
1+x
>0⇒-1<x<1
  m,n∈(-1,1),∴f(m)+f(n)=loga
1-m
1+m
+loga
1-n
1+n
=loga
1-m
1+m
1-n
1+n

=loga
1-m-n+mn
1+m+n+mn
=loga
1+mn-m-n
1+mn
1+mn+m+n
1+mn
=loga
1-
m+n
1+mn
1+
m+n
1+mn
=f(
m+n
1+mn
)   
(2)∵f(-x)+f(x)=loga
1+x
1-x
+loga
1-x
1+x
=loga
1+x
1-x
1-x
1+x
=loga1=0,
∴f(x)在其定义域(-1,1)上为奇函数.   
(3)设0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=loga
1-x1
1+x1
-loga
1-x2
1+x2

=loga
1-x1
1+x1
1+x2
1-x2
=loga
1+x2-x1-x1x2
1+x1-x2-x1x2

∵0<x1<x2<1,∴1+x2-x1-x1x2>1+x1-x2-x1x2>0⇒
1+x2-x1-x1x2
1+x1-x2-x1x2
>1
∴当0<a<1,f(x1)-f(x2)<0,从而f(x)在(0,1)上为增函数;
当a>1,f(x1)-f(x2)>0,从而f(x)在(0,1)上为减函数.
举一反三
已知函数f(x)=ax7+bx-2,若f(2009)=10,则f(-2009)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
(


3
+2)2×(2-


3
)2
=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=(x-1)2,g(x)=x2-1,则f[g(x)]的单调递减区间为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设y=f(x)=lg
5-x
5+x

(1)求函数y=f(x)的定义域和值域;
(2)判断y=f(x)的奇偶性;
(3)判定y=f(x)的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义一种运算a⊕b=





a,a≤b
b,a>b
,令f(x)=(cos2x+sinx)⊕
3
2
,且x∈[0,
π
2
],则函数f(x-
π
2
)的最大值是(  )
A.
5
4
B.1C.-1D.-
5
4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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