已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域

题型:解答题难度:一般来源:镇江模拟
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).
(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,
①对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,求证:k=f′(x0);
②对于“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.
答案
(1)如果x>0,g(x)为增函数,则
g′(x)=2ax+b+
c
x
=
2ax2+bx+c
x
>0(i)
恒成立.
∴2ax2+bx+c>0(ii)恒成立
∵a<0,由二次函数的性质,(ii)不可能恒成立
则函数g(x)不可能总为增函数.
(2)①对于二次函数:
k=
f(x2)-f(x1)
x2- x1
=
a(x22-x12)+b(x2-x1)
x2-x1
=2ax0+b
由f′(x)=2ax+b故f′(x0)=2ax0+b
即k=f′(x0
(2)②
不妨设x2>x1,对于伪二次函数g(x)=ax2+bx+clnx=f(x)+clnx-c,
k=
g(x2)-g(x1)
x2-x1
=
f(x2)-f(x1)+cln
x2
x1
x2-x1

如果有①的性质,则g′(x0)=k
cln
x2
x1
x2-x1
=
c
x0
,c≠0

即∴
ln
x2
x1
x2-x1
=
2
x1+x2

t=
x2
x1
,t>1,则
lnt
t-1
=
2
t+1

设s(t)=lnt-
2t-2
t+1
,则s′(t)=
1
t
-
2(t+1)-2(t-1)
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
0
∴s(t)在(1,+∞)上递增,
∴s(t)>s(1)=0
∴g′(x0)≠k∴“伪二次函数“g(x)=ax2+bx+clnx不具有①的性质.
举一反三
若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,则f(2011)的值是(  )
A.2008B.2009C.2010D.2011
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已知函数f(x)=x2-2ax+5,若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围是(  )
A.[2,3]B.[1,2]C.[-1,3]D.[2,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是(  )
A.y=sinxB.y=-log2xC.y=(
1
2
)x
D.y=x-
1
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
人们对声音的感觉程度可以用强度I(w/m2)来表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平β(分贝)表示,它们满足以下公式:β=10lg(1012•I).已知沙沙的树叶声的声音强度是10-12(w/m2),则它的强度水平是______分贝.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=3x-
1
3|x|

(1)若f(x)=
2
3


3
,求x的值;
(2)若f(x)>
2
3


3
,求x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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