已知函数f(x)=2x-log21+mx1-x是奇函数.(1)求m的值;(2)请讨论它的单调性,并给予证明.

已知函数f(x)=2x-log21+mx1-x是奇函数.(1)求m的值;(2)请讨论它的单调性,并给予证明.

题型:解答题难度:一般来源:乐山一模
已知函数f(x)=
2
x
-log2
1+mx
1-x
是奇函数.
(1)求m的值;
(2)请讨论它的单调性,并给予证明.
答案
(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0;
(-
2
x
-log2
1-mx
1+x
)+(
2
x
-log2
1+mx
1-x
)=0
,解得:m=1,其中m=-1(舍);
经验证当m=1时,f(x)=
2
x
-log2
1+x
1-x
(x∈(-1,0)∪(0,1))
确是奇函数.
(2)先研究f(x)在(0,1)内的单调性,任取x1、x2∈(0,1),且设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
2
x1
-
2
x2
+[lo g2(
2
1-x2
-1)-log2(
2
1-x1
-1)]

2
x1
-
2
x2
>0,log2(
2
1-x2
-1)-log2(
2
1-x1
-1)>0

得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减;
由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数f(x)在(-1,0)内单调递减.
举一反三
已知f(x)=





cosπx(x<1)
f(x-1)-1(x>1)
f(
1
3
)+f(
4
3
)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=sin(
πx
2
+α)
,且f(2009)=1,则f(2010)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)在x=1处连续,且
lim
x→1
f(x)
x-1
=2则f(1)等于(  )
A.-1B.0C.1D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)2,其中,a为实常数且a≠0.
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若f(x)≥
a
2
对任意x∈(-1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x|x2-a|,a∈R.
(Ⅰ)当a≤0时,求证函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)当a=3时,求函数f(x)在区间[0,b]上的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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