已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)2,其中,a为实常数且a≠0.(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若f(x)≥a2对任意x∈(-1,+∞)恒成立,
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已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)2,其中,a为实常数且a≠0.(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若f(x)≥a2对任意x∈(-1,+∞)恒成立,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=aln(x+1)+(x+1)
2
,其中,a为实常数且a≠0.
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若
f(x)≥
a
2
对任意x∈(-1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)
f
′
(x)=
a
x+1
+2(x+1)=
2
(x+1)
2
+a
x+1
(2分)
因为f(x)的定义域为(-1,+∞),所以x+1>0
当a>0时,f′(x)>0,此时f(x)的单调增区间为(-1,+∞)(4分)
当a<0时,2(x+1)
2
>-a,即
x>-1+
-
a
2
时f′(x)>0,
此时f(x)的单增区间为
(-1+
-
a
2
,+∞)
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在(-1,+∞)单调增,而当x→0时,f(x)→-∞
所以此时f(x)无最小值,不合题意(7分)
当a<0时,f(x)在
(-1,-1+
-
a
2
)
上单调减,在
(-1+
-
a
2
,+∞)
上增,
所以
f(x)≥
a
2
恒成立,即
f(-1+
-
a
2
)≥
a
2
⇒aln
-
a
2
+(
-
a
2
)
2
≥
a
2
(10分)
⇒ln
-
a
2
≤1
,得
0<
-
a
2
≤e⇒-2
e
2
≤a<0.
(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x|x
2
-a|,a∈R.
(Ⅰ)当a≤0时,求证函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)当a=3时,求函数f(x)在区间[0,b]上的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中既是奇函数,又是定义域内的减函数的是( )
A.f(x)=xlg2
B.f(x)=-x|x|
C.f(x)=sinx
D.f(x)=
lnx
x
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)=log
a
[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(0,1)∪(1,3)
D.(3,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若函数f(x)=
(
1
3
)
x
,x∈[-1,0]
3
x,x∈[0,1]
则f
(
log
3
1
2
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知反比例函数
y=
k
x
的图象经过点(-1,2),则使得函数值y>-1的x的取值集合是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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