设f（x）=1+2x+3x•a3（其中a为实数），如果当x∈（-∞，1）时恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）=

1+2x+3x•a

3

（其中a为实数），如果当x∈（-∞，1）时恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

答案

函数f（x）有意义，须且只需1+2^x+3^x•a＞0，
即a＞-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]…（*），
设g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]，x∈（-∞，1），
因为y₁=-(

1

3

)x，y₂=-(

2

3

)x在（-∞，1）上都是增函数，所以g（x）=-[(

1

3

)x+(

2

3

)x]在（-∞，1）上是增函数，故[g（x）]_max=g（1）=-1．
所以，欲使（*）对x∈（-∞，1）恒成立，必须a＞g（1）=-1，
即实数a的取值范围是（-1，+∞）．