探究函数f(x)=x+4x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.5

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探究函数f(x)=x+4x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.5

题型：解答题难度：一般来源：不详
探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
答案
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x…0.511.51.71.922.12.22.33457…
y…8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57…
（1）由表格中的数据，我们易得：
函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)在区间（2，+∞）上递增．
当x=2时，y最小=4．；
（2）方法一：由f（x）=x+
4
x
，
∴f"（x）=1-
4
x2
=
(x-2)(x+2)
x2
，
当x∈（0，2）时，∴f"（x）＜0，
∴函数在（0，2）上为减函数．
方法二：设x1，x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
∴y1-y2＞0∴函数在（0，2）上为减函数．
（3）∵f（-x）=-x-
4
x
=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又因为当x=2时y最小=4，
所以 y=x+
4
x
，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y最大=-4
下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A．f（x）=


3+x
B．.f（x）=x2-3xC．.f（x）=-
1
x-1
D．f（x）=-|x|
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
已知函数f（x）的图象关于y轴对称，并且是[0，+∞）上的减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（　　）
A．(
1
10
，1)		B．(
1
10
，100)		C．(
1
10
，10)		D．（0，1）
若函数f（x）=





x+1，(x≥0)
f(x+2)，(x＜0)
，则f（-3）=______．
已知函数f（x）=x2+
a
x
（x≠0，a∈R）
（1）当a为何值时，函数f（x）为偶函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．