已知函数f(x)对于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时f(x)>1.(1)求证:函数f(x)在R上为增函数;(2)若f(3
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时f(x)>1. (1)求证:函数f(x)在R上为增函数; (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2. |
答案
(1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,则f(x2-x1)>1 ∵函数f(x)对于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1成立 ∴令m=n=0,有f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1, 再令m=x,n=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,即f(0)=f(x)+f(-x)-1, ∴f(-x)=2-f(x), ∴f(-x1)=2-f(x1) 而f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1>1, 即f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), ∴函数f(x)在R上为增函数; (2)∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=3f(1)-2=4 ∴f(1)=2. ∴f(a2+a-5)<2,即为f(a2+a-5)<f(1), 由(1)知,函数f(x)在R上为增函数,a2+a-5<1,即a2+a-6<0, ∴-3<a<2 ∴不等式f(a2+a-5)<2的解集是{a|-3<a<2} |
举一反三
如果y=,那么( )A.y最小值=5 | B.y最小值= | C.y最大值=5 | D.y最大值= |
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已知:函数f(x)=,x∈[1,+∞], (1)当a=-1时,判断并证明函数的单调性并求f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0都成立,试求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)的定义域为[0,1],且同时满足:①f(1)=4;②若x∈[0,1],都有f(x)≥3;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3. (1)求f(0)的值; (2)当x∈(,1]时,求证:f(x)<3x+3. |
已知f(x)=log2(x≠0).求 (1)f(-2)+f(1)的值. (2)f(-2)+f(-)+f()+f(1)的值. (3)通过这些值你能做出什么猜想?试证明你的猜想. |
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