已知函数f(x)=2x+1x+2,试证明f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,并求出该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.
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已知函数f(x)=2x+1x+2,试证明f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,并求出该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
2x+1
x+2
,试证明f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,并求出该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.
答案
f(x)=
2x+1
x+2
=2-
3
x+2
(1分)
在(-2,+∞)上任取x
1
,x
2
,使得-2<x
1
<x
2
,则 (2分)
f(x
1
)-f(x
2
)=
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+2)(
x
2
+2)
(5分)
∵-2<x
1
<x
2
,
∴0<x
1
+2<x
2
+2,且x
1
-x
2
<0 (8分)
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),(9分)
∴f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数.(10分)
∵f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,
∴f(x)在区间[1,4]上也是增函数,(11分)
当x=1时,f(x)有最小值,且最小值为f(1)=1 (12分)
当x=4时,f(x)有最大值,且最大值为f(4)=
3
2
.(14分)
举一反三
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0 时,0<f(x)<1.
(Ⅰ)若f(1)=
1
2
,求
f(1)+f(2)
f(1)
的值;
(Ⅱ)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1;
(Ⅲ)判断f(x)在R上的单调性,并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.
y=
1
x
D.y=-x
2
+4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
3
x
-1
3
x
+1
.
(1)证明f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数
f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<f(x)<1;③f(x)是R上的减函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x
2
-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.
题型:解答题
难度:一般
|
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