设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0 时,0<f(x)<1.(Ⅰ)若f(1)=12,求f(1)+f(
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设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0 时,0<f(x)<1.(Ⅰ)若f(1)=12,求f(1)+f(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0 时,0<f(x)<1.
(Ⅰ)若f(1)=
1
2
,求
f(1)+f(2)
f(1)
的值;
(Ⅱ)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1;
(Ⅲ)判断f(x)在R上的单调性,并加以证明.
答案
(1)令m=n=1,则f(2)=f(1)f(1)=
1
4
,
∴
f(1)+f(2)
f(1)
=
1
2
+
1
4
1
2
=
3
2
(2)证明:①令y=0,x=1,得f(1)=f(1)f(0)
∵x>0时,0<f(x)<1,
∴f(1)>0…(3分)
∴f(0)=1
②当x<0时,则-x>0,
令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)
得
f(x)=
1
f(-x)
由于当x>0时,0<f(x)<1
则0<f(-x)<1,即
f(x)=
1
f(-x)
>1
故当x<0时,有f(x)>1
(3)函数f(x)在R上是单调递减函数
证明如下:设x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
,
则x
2
-x
1
<0,∴0<f(x
2
-x
1
)<1
∴f(x
2
)=f[(x
2
-x
1
)+x
1
]=f(x
2
-x
1
)f(x
1
)<f(x
1
)
∴函数f(x)在R上是单调递减函数.
举一反三
下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.
y=
1
x
D.y=-x
2
+4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
3
x
-1
3
x
+1
.
(1)证明f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数
f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<f(x)<1;③f(x)是R上的减函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x
2
-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x
2
+x+1,则f(-1)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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