已知函数f(x)=3x-13x+1.(1)证明f(x)为奇函数;(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.

已知函数f(x)=3x-13x+1.(1)证明f(x)为奇函数;(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
3x-1
3x+1

(1)证明f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.
答案
(1)证明:函数的定义域为R
∵f(-x)=
3-x-1
3-x+1
=
1-3x
1+3x
=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(2)在定义域上是单调增函数;
设x1<x2
f(x)=
3x-1
3x+1
=1-
2
3x+1

∴f(x1)-f(x2)=
2
3x2+1
-
2
3x1+1
=
2(3x1-3x2)
(1+3x1)(1+3x2)

∵x1<x2
∴0<3x13x2
∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2
∴f(x)单调递增
举一反三
已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性.
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设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<f(x)<1;③f(x)是R上的减函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2+x+1,则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





log3x(x>0)
3x(x≤0)
,则f(f(
1
9
))
的值是(  )
A.9B.
1
9
C.-9D.-
1
9
题型:单选题难度:一般| 查看答案
讨论f(x)=
ax
1+x2
(a≠0,a为常数)在区间(0,1)上的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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