已知函数f(x)=3x-13x+1．（1）证明f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）证明：函数的定义域为R
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

1-3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（2）在定义域上是单调增函数；
设x₁＜x₂
∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

3x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x2+1

3x1+1

2(3x1-3x2)

(1+3x1)(1+3x2)

∵x₁＜x₂
∴0＜3x1＜3x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）单调递增

举一反三

已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式及b的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．

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设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x²-3ax+1）•f（-3x+6a+1）≥1．

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已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=x²+x+1，则f（-1）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

log3x(x＞0)

3x(x≤0)

，则f(f(

))的值是（　　）

A．9

B．

C．-9

D．-

题型：单选题难度：一般| 查看答案

讨论f(x)=

1+x2

（a≠0，a为常数）在区间（0，1）上的单调性．

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