设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1.(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1. (1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<f(x)<1;③f(x)是R上的减函数; (2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1. |
答案
(1)①证明:在f(m)•f(n)=f(m+n)中, 令m=n=0 得f(0)•f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)•f(0). ∴f(0)=0或f(0)=1, 若f(0)=0,则当x<0时, 有f(x)=f(x+0)=f(x)•f(0)=0, 与题设矛盾, ∴f(0)=1. ②当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)>1, 又f(0)=f[x+(-x)]=f(x)•f(-x)=1,f(-x)>1, ∴0<f(x)=<1,即x>0时,0<f(x)<1. ③任取x1<x2,则f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)•f(x2), ∵x1-x2<0, ∴f(x1-x2)>1,又由(1)(2)及已知条件知f(x2)>0, ∴f(x1-x2)=>1 ∴f(x1)>f(x2), ∴y=f(x)在定义域R上为减函数. (2)f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)=f(x2-3ax+1-3x+6a+1)=f[x2-3(a+1)x+2(3a+1)] 又f(0)=1,f(x)在R上单调递减, ∴原不等式等价于x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 不等式可化为(x-2)[x-(3a+1)]≤0 当2<3a+1,即a>时,不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}; 当2=3a+1,即a=时,(x-2)2≤0,不等式的解集为{2}; 当2>3a+1,即a<时,不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}. |
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2+x+1,则f(-1)=______. |
讨论f(x)=(a≠0,a为常数)在区间(0,1)上的单调性. |
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