定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．（1）证明：f（x）在R上是减函数；（2

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）证明：f（x）在R上是减函数；
（2）若4f(

m+1

4

)≥3，求实数m的范围．

答案

（1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因为f（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函数f（x）在R上是减函数；
（2）取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由4f(

m+1

4

)≥3，得4f(

m+1

4

)=4f(

m

4

)-1≥3．
所以4f(

m

4

)≥4，f(

m

4

)≥1．
因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
所以

m

4

≤0．
则m≤0．
所以实数m的范围是（-∞，0]．