已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值.(2)证明:f(x)是奇函数.(3)如果x>0时,f(x
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已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值.(2)证明:f(x)是奇函数.(3)如果x>0时,f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)的值.
(2)证明:f(x)是奇函数.
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-
1
2
,试求使f(x
2
-2ax-1)≤1对x∈[2,4]恒成立的实数a的取值范围.
答案
(1)∵对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y).
∴令x=y=0得:f(0)=2f(0),得f(0)=0.
(2)∵f(x)的定义域为R,∴f(x)的定义域关于原点对称.
又令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x)是奇函数.
(3)设x
1
,x
2
∈R,x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,
∴f(x
2
-x
1
)<0,∴f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)<0,
∴f(x)是R上的减函数.
∵f(1)=-
1
2
,∴
f(-1)=
1
2
,
∴f(-2)=2f(-1)=1,
∴不等式f(x
2
-2ax-1)≤1即是f(x
2
-2ax-1)≤f(-2),
∴x
2
-2ax-1≥-2即x
2
-2ax+1≥0对x∈[2,4]恒成立.
即
a≤
x
2
+
1
2x
对x∈[2,4]恒成立.
令
g(x)=
x
2
+
1
2x
,
则
g
′
(x)=
1
2
-
1
2
x
2
=
x
2
-1
2
x
2
>0
在x∈[2,4]上恒成立,
因此g(x)在x∈[2,4]上单调递增,
∴
g(x
)
min
=g(2)=1+
1
4
=
5
4
.
∴
a≤
5
4
.
举一反三
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B.0.99元
C.1.21元
D.0.88元
题型:单选题
难度:简单
|
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设f(x)=
|x-1|-2 |x|≤1
1
1+
x
2
|x|>1
,则f[f(
1
2
)]=( )
A.
1
2
B.
4
13
C.-
9
5
D.
25
41
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数f(x)=lg(x
2
+ax-a),若f(x)的值域为R,则a的取值范围是______.
题型:解答题
难度:一般
|
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题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的函数f(x)满足:f(x)的图象关于y轴对称,并且对任意的x
1
,x
2
∈(-∞,0](x
1
≠x
2
)有(x
1
-x
2
)(f(x
1
)-f(x
2
))>0.则当n∈N
﹡
时,有( )
A.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)
B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)
C.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)
D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)
题型:单选题
难度:简单
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