已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值.(2)证明:f(x)是奇函数.(3)如果x>0时,f(x

已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值.(2)证明:f(x)是奇函数.(3)如果x>0时,f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)的值.
(2)证明:f(x)是奇函数.
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-
1
2
,试求使f(x2-2ax-1)≤1对x∈[2,4]恒成立的实数a的取值范围.
答案
(1)∵对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y).
∴令x=y=0得:f(0)=2f(0),得f(0)=0.
(2)∵f(x)的定义域为R,∴f(x)的定义域关于原点对称.
又令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x)是奇函数.
(3)设x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,
∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)是R上的减函数.
∵f(1)=-
1
2
,∴f(-1)=
1
2

∴f(-2)=2f(-1)=1,
∴不等式f(x2-2ax-1)≤1即是f(x2-2ax-1)≤f(-2),
∴x2-2ax-1≥-2即x2-2ax+1≥0对x∈[2,4]恒成立.
a≤
x
2
+
1
2x
对x∈[2,4]恒成立.
g(x)=
x
2
+
1
2x

g(x)=
1
2
-
1
2x2
=
x2-1
2x2
>0
在x∈[2,4]上恒成立,
因此g(x)在x∈[2,4]上单调递增,
g(x)min=g(2)=1+
1
4
=
5
4

a≤
5
4
举一反三
固定电话市话收费规定:前三分钟0.22元(不满三分钟按三分钟计算),以后每分钟0.11元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550秒,应该收费(  )
A.1.10元B.0.99元C.1.21元D.0.88元
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设f(x)=





|x-1|-2     |x|≤1
1
1+x2
      |x|>1
,则f[f(
1
2
)]=(  )
A.
1
2
B.
4
13
C.-
9
5
D.
25
41
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=lg(x2+ax-a),若f(x)的值域为R,则a的取值范围是______.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间的定价增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客入住房间,宾馆每间每天将花费20元的各种费用.当房间定价为多少的时候,宾馆获得的利润最大?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足:f(x)的图象关于y轴对称,并且对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0.则当n∈N时,有(  )
A.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)
C.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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