已知a>1,f(logax)=aa2-1(x-1x).(1)求f(x)的解析式;(2)证明f(x)为R上的增函数;(3)若当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+
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已知a>1,f(logax)=aa2-1(x-1x).(1)求f(x)的解析式;(2)证明f(x)为R上的增函数;(3)若当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a>1,f(log
a
x)=
a
a
2
-1
(x-
1
x
)
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明f(x)为R上的增函数;
(3)若当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m
2
)<0,求m的集合M.
答案
(1)令t=log
a
x(t∈R),
则x=a
t
,f(t)=
a
a
2
-1
(
a
t
-
1
a
t
)
,
∴f(x)=
a
a
2
-1
(
a
x
-
1
a
x
)
(x∈R).
(2)当a>1时,指数函数y=a
x
是增函数,y=
1
a
x
是减函数,y=-
1
a
x
是增函数.
∴y=
a
x
-
1
a
x
为增函数,
又∵
a
a
2
-1
>0,
∴f(x)=
a
a
2
-1
(
a
x
-
1
a
x
)
是R上的增函数.
当0<a<1时,指数函数y=a
x
是减函数,y=
1
a
x
是增函数,y=-
1
a
x
是减函数.
∴y=
a
x
-
1
a
x
为减函数.
又∵
a
a
2
-1
<0,
∴f(x)=
a
a
2
-1
(
a
x
-
1
a
x
)
是R上的增函数.
综上可知,在a>1或0<a<1时,y=f(x)为R上的增函数.
(3)∵f(-x)=
a
a
2
-1
(
a
-x
-
1
a
-x
)
=-
a
a
2
-1
(
a
x
-
1
a
x
)
=-f(x),且x∈R,
∴f(x)为奇函数.
∵f(1-m)+f(1-)<0,
∴f(1-m)<-f(1-m
2
),
∴f(1-m)<f(m
2
-1),
由(2)可知y=f(x)为R上的增函数,
∴-1<1-m<m
2
-1<1,
解之得:1<m<
2
.
举一反三
已知:a,b,c,d∈R
+
,且a+b+c+d=256,则
a
+
b
+
c
+
d
的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P=
1
6
3t
,Q=
1
8
t.今该公司将5亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资x(亿元),投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元).求:
(1)y关于x的函数表达式;
(2)总利润的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)=
2
2
-1(x≤1)
sinx-2(x>1)
则f(f(π))=______
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2
x+1
+
a
2
x-1
(a∈R,且a≠0)
(1)当a=-1时,判断f(x)在R上是增函数还是减函数,并说明理由;
(2)判断f(x)奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.
(1)试写出满足上述条件的一个函数;
(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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