设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值

设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值

题型:解答题难度:一般来源:金华模拟
设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.
(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值范围.
答案
(1)当a=2时,f(x)=x2+2|lnx-1|
=





x2-2lnx+2  (0<x≤e)
x2+2lnx-2  (x>e)
(2分)
当0<x≤e时,f′(x)=2x-
2
x
=
2x2-2
x

f(x)在(1,e]内单调递增;
当x≥e时,f′(x)=2x+
2
x
>0
恒成立,
故f(x)在[e,+∞)内单调递增;
∴f(x)的单调增区间为(1,+∞).(6分)
(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,
f′(x)=2x+
a
x
(x≥e)∵a>0,
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[e,+∞)上增函数.
故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(8分)
②当1≤x<e时,f(x)=x2-alnx+a,
f′(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+


a
2
)(x-


a
2
)
(1≤x<e)


a
2
≥e
,即a≥2e2时,
f′(x)在x∈(1,e)进为负数,
所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,
故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(14分)
所以函数y=f(x)的最小值为
ymin=





1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
e2,a≥2e2
,2<a<2e2

由条件得





1+a≥a
0<a≤2
此时0<a≤2;





3a
2
-
a
2
ln
a
2
≥a
2<a<2e2

此时2<a≤2e;或





e2≥a
a≥2e2
,此时无解.
综上,0<a≤2e.(16分)
举一反三
已知函数f(x)=





x2-x,x≤1
2log2x,x>1
则{x|f(x)>2}=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a


x
,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;
(2)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1,求C1与f(x)对应曲线C2的交点个数,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
4(x-a)
x2+4
.(a∈R)
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是(  )
A.y=-x2B.y=x2-2C.y=(
1
2
)x
D.y=log2
1
x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=
1
2x+1
,则该函数在(-∞,+∞)上是(  )
A.单调递增无最大值B.单调递增有最大值
C.单调递减无最小值D.单调递减有最小值
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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