已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m.(1)若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m的取值范围;(2)若
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m. (1)若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m的取值范围; (2)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)方程f(x)=|m|,即|x-m|=|m|,解得x=0,或x=2m. 要使方程|x-m|=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解, 需 2m≥-4,且2m≠0.解得 m≥-2 且m≠0. 故实数m的取值范围为[-2,0)∪(0,+∞). (2)命题等价于任意x1∈(-∞,4],任意的x2∈[3,+∞),fmin(x1)>gmax( x2)成立. 又函数f(x)=|x-m|=,故fmin(x1)=. 又函数g(x)=x|x-m|+m2-7m= | x(m-x)+m 2-7m ,x<m | x(x-m)+m 2-7m , x≥m |
| | , 故gmax( x2)= | g(3) =m2-10m+9 , m<3 | g(m) = m2-7m , m≥3 |
| | . 当m<3时,有0>m2-10m+9,解得 1<m<3. 当 3≤m<4,有0>m2-7m,解得 3≤m<4. 当4≤m,有m-4>m2-7m,解得 4≤m<4+2. 综上可得,1<m<4+2,故实数m的取值范围为(1,4+2 ). |
举一反三
定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质: (1)2*2010=1; (2)(2n+2)*2010=3×[(2n)*2010],则2008*2010=______. |
设函数f(x)=x3+3x2+6x+4,a,b都是实数,且f(a)=14,f(b)=-14,则a+b的值为( ) |
若函数y=f(x)的图象与函数y=log2的图象关于y=x对称,则f(1)=______. |
动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是(,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )A.[0,1] | B.[1,7] | C.[7,12] | D.[0,1]和[7,12] |
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设一次函数f(x)=ax+b,其中a,b为实数,f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,3,…,若f5(x)=32x+31,则f2008(-1)=______. |
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