定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)解关于x的
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1. (1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)解关于x的不等式:f(x-x2+2)+f(2x)+2<0. |
答案
(1)令x=y=0,则题意可得f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0(3分) 令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)∵f(0)=0,故对任意x∈R有f(-x)=-f(x)成立. ∴函数f(x)为奇函数.(6分) (2)由函数f(x)是定义在R上的单调函数且f(0)=0,f(1)=1, 可知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. ∴原不等式等价于f(3x-x2+2)<-2.(8分) ∵f(1)=1,f(2)=f(1)+f(1)=2. 又∵函数为奇函数∴f(-2)=-2. ∴f(3x-x2+2)<f(-2).(10分) ∴3x-x2+2<-2. 即x2-3x-4>0 ∴原不等式的解集为{x|x>4或x<-1}(12分) |
举一反三
函数f(x)的定义域为R,并满足条件: ①对任意x∈R,有f(x)>0; ②对任意x,y∈R,有f(x•y)=[f(x)]y; ③f()>1. (1)求f(0)的值; (2)求证:f(x)在R上是单调递增函数. |
定义在R上奇函数f(x),f(x+2)=,则f(2010)=( ) |
若f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(log2x)<0的x的取值范围是( )A.(0,4) | B.(4,+∞) | C.(0,)∪(4,+∞) | D.(,4) |
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设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( ) |
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