函数f（x）的定义域为R，并满足条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]y；③f(13)＞1．（1）求f（0）的值

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）的定义域为R，并满足条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0；
②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1．
（1）求f（0）的值；   
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．

答案

（1）令x=0，y=2，则f（0）=[f（0）]²
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
设x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2，则P₁＜P₂
∴f(x1)-f(x2)=f(

1

3

P1)-f(

1

3

P2)=[f(

1

3

)]P1-[f(

1

3

)]P2
∵f(

1

3

)＞1，P1＜P2，∴[f(

1

3

)]P1＜[f(

1

3

)]P2
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是单调递增函数．