已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)试判断函数f(x)的单
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)试判断函数f(x)的单调性,并证明; (2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3. |
答案
(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0. 令y=,可得 f(1)=0=f(x)+f(),∴f()=-f(x). 设 x2>x1>0,则 >1,∴f()=f(x2)+f()=f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1),函数f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)不等式f(x)+f(x-2)<3 即 f[x(x-2)]<3. 由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3, 故不等式即 f[x(x-2)]<f(8). 由 解得 2<x<4,故不等式的解集为 (2,4). |
举一反三
已知f(x)=log22x-2log2x+4,x∈[,8] (1)设t=log2x,x∈[,8],求t的最大值与最小值; (2)求f(x)的最大值与最小值. |
如果f(a+b)=f(a)•f(b),且f(1)=2,则+++…+++=______. |
函数y=x-sinx,x∈[,π]的最大值是______. |
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且f(x•y)=f(x)+f(y) (1)求f(1); (3)证明f(x)在定义域上是增函数; (3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f()≥2的x的范围. |
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