(I)b=2时,h(x)=lnx-ax2-2x, 则h′(x)=-ax-2=-. 因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h"(x)<0有解. 又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解. ①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解; ②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解; 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2. 则点M、N的横坐标为x=, C1在点M处的切线斜率为k1=,x=,k1=, C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b,x=,k2=+b. 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2. 即=+b, 则 =(x22-x12)+b(x2-x1) =(x22+bx2)-(x12+bx1) =y2-y1 =lnx2-lnx1. 所以ln=.设t=,则lnt=,t=1① 令r(t)=lnt-,t>1.则r′t=-=. 因为t>1时,r"(t)>0,所以r(t)在[1,+∞)上单调递增.故r(t)>r(1)=0. 则lnt>.这与①矛盾,假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. |