解(1)∵F(x)=(x2+1)lnx-2x+2. ∴F′(x)=2xlnx+-2=2xlnx+. ∴当x≥1时,F′(x)≥0且仅当x=1时F′(x)=0 ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增(4分) (2)∵0<a<b,f(x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb] ∴要证值域的长度大于, 即证lnb-lna> 只要证ln> ∵0<a<b, ∴>1,令=x 则只要证lnx>(x>1) 即证(x2+1)lnx-(2x-2)>0(※) 由(1)可知F(x)在(1,+∞)上单调递增∴F(x)>F(1)=0 所以(※)式成立. ∴f(x)在[a,b]上的值域的长度大于.(9分) (3)∵f(x)=-⇔xlnx=- (x>0) 令h(x)=xlnx(x>0).则h′(x)=lnx+1 当x∈(0,)时h′(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h()=-. 令空集(x)=-(x>0),则∅′(x)=, 当x∈(0,1),空集"(x)>0,空集(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,空集"(x)<0,空集(x)单调递减. ∴C(x)max=∅(1)=- 所以方程f(x)=-没有实根(13分) |