己知向量a=(2sinx2,1-2cosx2),b=(cosx2,1+2cosx2),函数f(x)=log12(a•b).(Ⅰ)求函数f(x)的定义域和值域;(
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己知向量a=(2sinx2,1-2cosx2),b=(cosx2,1+2cosx2),函数f(x)=log12(a•b).(Ⅰ)求函数f(x)的定义域和值域;(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
己知向量a=
(2sin
x
2
,1-
2
cos
x
2
)
,b=
(cos
x
2
,1+
2
cos
x
2
)
,函数
f(x)=lo
g
1
2
(a•b).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域和值域;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
答案
(Ⅰ)∵
a
•
b
=
2sin
x
2
cos
x
2
+(1-
2
cos
x
2
)(1+
2
cos
x
2
)=sinx+1-2co
s
2
x
2
=
sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)
.
由
sin(x-
π
4
)>0
,
得
2kπ<x-
π
4
<2kπ+π
,
即
2kπ+
π
4
<x<2kπ+
5π
4
,k∈Z.
∴f(x)的定义域是
(2kπ+
π
4
,2kπ+
5π
4
),k∈Z
.
∵
0<
2
sin(x-
π
4
)≤
2
,则
f(x)≥lo
g
1
2
2
=-
1
2
,
∴f(x)的值域是
[-
1
2
,+∞)
.
(Ⅱ)由题设
f(x)=lo
g
1
2
2
sin(x-
π
4
)
.
若f(x)为增函数,则
y=
2
sin(x-
π
4
)
为减函数,
∴
2kπ+
π
2
≤x-
π
4
<2kπ+π
,
即
2kπ+
3π
4
≤x<2kπ+
5π
4
,
∴f(x)的递增区间是
[2kπ+
3π
4
,2kπ+
5π
4
),k∈Z
.
若f(x)为减函数,则
y=
2
sin(x-
π
4
)
为增函数,
∴
2kπ<x-
π
4
≤2kπ+
π
2
,即
2kπ+
π
4
<x≤2kπ+
3π
4
,
∴f(x)的递减区间是
(2kπ+
π
4
,2kπ+
3π
4
],k∈Z
.
举一反三
已知定义在R上的单调函数f(x)满足:存在实数x
0
,使得对于任意实数x
1
,x
2
,总有f(x
0
x
1
+x
0
x
2
)=f(x
0
)+f(x
1
)+f(x
2
)恒成立,则(i)f(1)+f(0)=______(ii)x
0
的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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在△ABC中,已知a,b,c是角A,B,C的对应边,①若a>b,则f(x)=(sinA-sinB)•x在R上是增函数; ②若a
2
-b
2
=(acosB+bcosA)
2
,则△ABC是Rt△; ③cosC+sinC的最小值为
-
2
; ④若cosA=cosB,则A=B;⑤若(1+tanA)(1+tanB)=2,则
A+B=
3π
4
,其中正确命题的序号是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f (x)=
|x|
x+2
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)=
2
x-2
,x≤2
log
2
(x-1),x>2
,则f(f(5))=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2.
(1)试判断函数F(x)=(x
2
+1)f (x)-g(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)当0<a<b时,求证:函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长度大于
2a(b-a)
a
2
+
b
2
(闭区间[m,n]的长度定义为n-m).
(3)方程f(x)=
1
e
x
-
2
ex
是否存在实数根?说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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