已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,在x=t处取得最值,若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x2+2x-3.(1)求f(x)的解析式
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,在x=t处取得最值,若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x2+2x-3. (1)求f(x)的解析式; (2)若x∈[-1,2]时,f(x)≥-1恒成立,求t的取值范围. |
答案
(1)设f(x)=a(x-t)2+b, ∵f(1)=2,∴a(1-t)2+b=2. 又f(x)+g(x)=x2+2x-3,g(x)为一次函数, ∴a=1,则b=2-(1-t)2, ∴f(x)=(x-t)2+2-(1-t)2=(x-t)2-t2+2t+1. (2)①若t<-1时, 要使f(x)≥-1恒成立,只需f(-1)≥-1, 即t≥-,这与t<-1矛盾; ②-1≤t≤2时,要使f(x)≥-1恒成立, 只需f(t)≥-1,即-t2+2t+1≥-1, 即1-≤t≤1+,∴1-≤t≤2; ③若t>2时,要使f(x)≥-1恒成立, 只需f(2)≥-1,即t≤3,∴2<t≤3, 综上所述t的取值范围是[1-,3]. |
举一反三
已知函数y=x+有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数. (1)如果函数y=x+(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值; (2)研究函数y=x2+(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由; (3)对函数y=x+和y=x2+(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数F(x)=(x2+)n+(+x)n(n是正整数)在区间[,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论). |
已知函数f(x)=(a≠1). (1)求f(x)的定义域 (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围. |
设函数f(x)=(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性. |
已知函数f(x)=ax2-2•x,g(x)=-(a, b∈R). (1)当b=0时,若f(x)在(-∞,2]上单调递减,求a的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对(a,b):存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值; (3)对满足(II)中的条件的整数对(a,b),试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k,k∈Z上的函数h(x),使h(x+2)=h(x),且当x∈(-2,0)时,h(x)=f(x). |
已知函数f(x)=3x-. (1)若f(x)=2,求x的值; (2)若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[,1]恒成立,求实数m的取值范围. |
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