已知函数g（x）=kx+b（k≠0），当x∈[-1，1]时，g（x）的最大值比最小值大2，又f（x）=2x+3．是否存在常数k，b使得f[g（x）]=g[f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 已知函数g（x）=kx+b（k≠0），当x∈[-1，1]时，g（x）的最大值比最小值大2，又f（x）=2x+3．是否存在常数k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立，如果存在，求出k，b．如果不存在，说明为什么？ |
答案
①当k＞0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（1）=k+b；
g（x）min=g（-1）=-k+b
∴k+b-（-k+b）=2即：k=1
②当k＜0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（-1）=-k+b；
g（x）min=g（1）=k+b
∴-k+b-（k+b）=2即：k=-1
假设存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立；
当k=1时，f[g（x）]
=f（x+b）=2（x+b）+3
=2x+2b+3=g[f（x）]
=g（2x+3）
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即：b=0
同理：当k=-1时，b=-6
∴存在或时，使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立 |
举一反三
| 已知二次函数y=x2+ax+5在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 ______． |
已知函数f(x)=+|x2-a|（常数a∈R+）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明． |
| 函数f（x）=x2+4ax+2在（-∞，6）内递减，则a的取值范围是______． |
已知y=f（x）（x≠0）对任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（log2x）＞0． |
| 已知函数f（x）为R上偶函数，且f（x）在[0，+∞）上的单调递增，记m=f（-1），n=f（a2+2a+3），则m与n的大小关系是______． |
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