已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x

已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立,如果存在,求出k,b.如果不存在,说明为什么?
答案
①当k>0时:g(x)在区间[-1,1]上,
g(x)max=g(1)=k+b;
g(x)min=g(-1)=-k+b
∴k+b-(-k+b)=2即:k=1
②当k<0时:g(x)在区间[-1,1]上,
g(x)max=g(-1)=-k+b;
g(x)min=g(1)=k+b
∴-k+b-(k+b)=2即:k=-1
假设存在k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立;
当k=1时,f[g(x)]
=f(x+b)=2(x+b)+3
=2x+2b+3=g[f(x)]
=g(2x+3)
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即:b=0
同理:当k=-1时,b=-6
∴存在





k=1
b=0





k=-1
b=-6
时,使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立
举一反三
已知二次函数y=x2+ax+5在区间[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 ______.
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已知函数f(x)=
1
x2
+|x2-a|
(常数a∈R+
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(Ⅱ)试研究函数f(x)在定义域内的单调性,并利用单调性的定义给出证明.
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函数f(x)=x2+4ax+2在(-∞,6)内递减,则a的取值范围是______.
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已知y=f(x)(x≠0)对任意x1,x2恒有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(1)求f(1)的值;
(2)求证:f(x)是偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(log2x)>0.
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已知函数f(x)为R上偶函数,且f(x)在[0,+∞)上的单调递增,记m=f(-1),n=f(a2+2a+3),则m与n的大小关系是______.
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