已知y=f（x）（x≠0）对任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）若f（x）在（0
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知y=f（x）（x≠0）对任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（log2x）＞0． |
答案
（1）∵任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
令x1=x2=1
∴f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
证明：（2）∵任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
令x1=x2=-1，可得，f（1）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0
令x2=-1，则可得，f（-x1）=f（x1）+f（-1）=f（x1）
∴函数f（x）为偶函数
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
由偶函数的性质可得，函数在（-∞，0上是减函数
∵f（log2x）＞0=f（1）=f（-1）
∴|log2x|＞1
∴log2x＞1或log2x＜-1
∴x＞2或0＜x＜ |
举一反三
| 已知函数f（x）为R上偶函数，且f（x）在[0，+∞）上的单调递增，记m=f（-1），n=f（a2+2a+3），则m与n的大小关系是______． |
| 已知函数f（x）=，则f（f（0））的值为______． |
已知定义在R上的函数f（x）=2x+，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域． |
函数f(x)=x+．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围． |
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log2（x+1）．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）若f（a-1）-f（3-a）＜0，求a的取值范围． |
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