函数f(x)=x+ax.(1)判断并证明函数的奇偶性;(2)若a=2,证明函数在(2,+∞)单调增;(3)对任意的x∈(1,2),f(x)>3恒成立,求a的范围
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函数f(x)=x+ax.(1)判断并证明函数的奇偶性;(2)若a=2,证明函数在(2,+∞)单调增;(3)对任意的x∈(1,2),f(x)>3恒成立,求a的范围
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数
f(x)=x+
a
x
.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)若a=2,证明函数在(2,+∞)单调增;
(3)对任意的x∈(1,2),f(x)>3恒成立,求a的范围.
答案
(1)f(x)是奇函数,证明如下:
由题意可得,函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称
∵f(-x)=-x-
a
x
=-f(x)
∴f(x)是奇函数;
(2)证明;当a=2时,f(x)=x+
2
x
,∴
f
′
(x)=1-
2
x
2
当x>2时,
f
′
(x)=1-
2
x
2
>0恒成立
∴函数在(2,+∞)单调增;
(3)当a≤0时,
f(x)=x+
a
x
在x∈(1,2)单调递增
∴1+a
<f(x)<2+
a
2
∴1+a≥3
∴a≥2(舍)
当a>0时,
f(x)=x+
a
x
在(0,
a
]单调递减,在[
a
,+∞)单调递增
∴2
a
>3
∴
a>
9
4
∴a的范围是
(
9
4
,+∞)
.
举一反三
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=log
2
(x+1).
(1)求f(0),f(-1);
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)若f(a-1)-f(3-a)<0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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定义在R上的函数f(x)满足
f(x)=
1-
x
2
,x≥0
f(x+2) ,x<0
,则f(-3)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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(1)证明f(x)是奇函数;
(2)证明f(x)在R上是减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
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题型:填空题
难度:一般
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已知f
(x)=
0,x>0
-e,x=0
x
2
+1,x<0
,则f[f(π)]的值为 ______.
题型:填空题
难度:一般
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