已知定义在(-2,2)上的函数f(x)=a,x=1x3+bx2-x-1x2+x-2,x≠1连续.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;(Ⅲ)求f(x)
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已知定义在(-2,2)上的函数f(x)=a,x=1x3+bx2-x-1x2+x-2,x≠1连续.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;(Ⅲ)求f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在(-2,2)上的函数
f(x)=
a,x=1
x
3
+b
x
2
-x-1
x
2
+x-2
,x≠1
连续.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅲ)求f(x)的最值.
答案
(I)∵函数
f(x)=
a,x=1
x
3
+b
x
2
-x-1
x
2
+x-2
,x≠1
连续,
且x≠1时,f(x)=
x
3
+bx
2
-x-1
(x-1)(x+2)
,得:x=1必是方程:x
3
+bx
2
-x-1=0的根,
∴解得b=1,
∴
f(x)=
a,x=1
(x+1)
2
x+2
,x≠1
,故a=
(1+1)
2
1+2
=
4
3
,
(II)由(I)得
f(x)=
4
3
,x=1
(x+1)
2
x+2
,x≠1
=
(x+1)
2
x+2
∵
(x+1)
2
x+2
=x+2+
1
x+2
-2
,它可以看成是由函数g(x)=
x+
1
x
进行图象变换而得,
∵定义域为(-2,2)
∴f(x)的单调性是:在区间(-1,2)上是增函数,在区间(-2,-1)上是减函数,
(III)结合(II)得:f(x)在区间(-1,2)上是增函数,在区间(-2,-1)上是减函数
∴f(x)在x=-1时取得最小值,且f(x)的最小值为:f(-1)=0.
举一反三
函数f(x)=x
2
+x-1的最小值是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,
f(
1
3
)=0
,则不等式
f(lo
g
1
8
x)>0
的解集为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=lo
g
a
(
x
2
-ax+2)
在(2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x
2
+2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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y=
1
2
x
2
-200x+80000
,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
题型:解答题
难度:一般
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