设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1(1)求a,b的值;(2)求
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1 (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的最大值. |
答案
(1)∵函数f(x)=-axn(x-1)+b=axn-axn+1+b, ∴f"(x)=naxn-1-(n+1)axn, 由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y=1, 可得f"(1)=-1,f(1)=0, ∴a=1,b=0. (2)由(1)可知f(x)=xn-xn+1, 故f′(x)=-(n+1)xn(x-),令f"(x)=0,得x= 当x∈(0,),f′(x)>0,当x∈(,+∞),f′(x)<0, 故函数f(x)在(0,)上单调递增;在(,+∞)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上最大值为f()=()n(1-)= |
举一反三
已知函数f(x)=,则f[f()]=______. |
已知函数f(x)=+1. (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明; (2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值. |
设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1). (1)若f(x)的最小值为3,求a的值; (2)在(1)的条件下,求使得不等式f(x)≤5成立的x的取值集合. |
已知函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),其反函数f-1(x)的图象过点(8,2).(1)求a,k的值 (2)若将y=f-1(x)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,就得到函数y=g(x)的图象,写出y=g(x)的解析式 (3)若函数F(x)=g(x2)-f-1(x),求F(x)的最小值及取得最小值时x的值. |
已知函数f(x)=那么f(-1)+f(1)=______. |
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