已知f（x）=x2-x+k，若log2f（a）=2且f（log2a）=k（a＞0且a≠1）．（1）确定k的值；（2）求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x²-x+k，若log₂f（a）=2且f（log₂a）=k（a＞0且a≠1）．
（1）确定k的值；
（2）求

[f(x)]2+9

f(x)

的最小值及对应的x值．

答案

（1）由题设有

log2(a2-a+k)=2① log 22 a-log2a+k=k②

，
∴

a2-a+k=4① log2a(log2a-1)=0②

∵a≠1，
∴log₂a≠0，由②得log₂a-1=0，
∴a=2，代入①解得k=2．
（2）∵k=2，
∴f（x）=x²-x+2=（x-

1

2

）²+

7

4

＞0．
∴

[f(x)]2+9

f(x)

=f（x）+

9

f(x)

≥2

f(x)• 9 f(x)

=6．
当且仅当f（x）=

9

f(x)

，即[f（x）]²=9时取等号．
∵f（x）＞0，
∴f（x）=3时取等号．
即x²-x+2=3，解得x=

1± 5

2

．
当x=

1± 5

2

时，

[f(x)]2+9

f(x)

取最小值．