已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).(1)确定k的值;(2)求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的
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已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).(1)确定k的值;(2)求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=x
2
-x+k,若log
2
f(a)=2且f(log
2
a)=k(a>0且a≠1).
(1)确定k的值;
(2)求
[f(x)]
2
+9
f(x)
的最小值及对应的x值.
答案
(1)由题设有
log
2
(a
2
-a+k)=2①
log
22
a-
log
2
a+k=k②
,
∴
a
2
-a+k=4①
log
2
a(
log
2
a-1)=0②
∵a≠1,
∴log
2
a≠0,由②得log
2
a-1=0,
∴a=2,代入①解得k=2.
(2)∵k=2,
∴f(x)=x
2
-x+2=(x-
1
2
)
2
+
7
4
>0.
∴
[f(x)]
2
+9
f(x)
=f(x)+
9
f(x)
≥2
f(x)•
9
f(x)
=6.
当且仅当f(x)=
9
f(x)
,即[f(x)]
2
=9时取等号.
∵f(x)>0,
∴f(x)=3时取等号.
即x
2
-x+2=3,解得x=
1±
5
2
.
当x=
1±
5
2
时,
[f(x)]
2
+9
f(x)
取最小值.
举一反三
已知定义域为(-10,+10)的偶函数f(x)的一个单调递增区间是(2,6),关于函数y=f(2-x)
(1)一个递减区间是(4,8)
(2)一个递增区间式(4,8)
(3)其图象对称轴方程为x=2
(4)其图象对称轴方程为x=-2
其中正确的序号是(2)、(3).
题型:填空题
难度:一般
|
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设
f(x)=
x+2(x≤-1)
x
2
(-1<x<2)
2x(x≥2)
,若f(x)=3,则x=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知:函数f(x)=ax+
b
x
+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4
,
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,
1
2
)上的单调性并说明理由;
(Ⅲ)试求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
2
-2
4+2b-
b
2
x,g(x)=-
1-
(x-a)
2
,(a,b∈R)
(Ⅰ)当b=0时,若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对(a,b):当a是整数时,存在x
0
,使得f(x
0
)是f(x)的最大值,g(x
0
)是g(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(sinα-cosα)=sin2α,则f(-1)-f(0)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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