定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时，f(x)=(12)|x-m|+n，且f（4）=31．（1）求证：f（2）=f（6）

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时，f(x)=(

1

2

)|x-m|+n，且f（4）=31．
（1）求证：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

答案

（1）证明：∵f（x+4）=f（x）∴f（2）=f（6）…（4分）
（2）由

f(4)=31 f(2)=f(6)

得

( 1 2 )|4-m+n=31 ( 1 2 )|2-m+n=( 1 2 )|6-m+n

，解得

m=4 n=30

…（10分）
（3）∵log₃4∈（1，2）∴log₃4+4∈（5，6）
∴f(log34)=f(log34+4)=(

1

2

)|log34+4-4|+30=(

1

2

)log34+30∵log₃30∈（3，4）
∴f(log330)=(

1

2

)|log330-4|+30=(

1

2

)4-log330+30=(

1

2

)log3

27

10

+30∵log3

27

10

＜log34
∴(

1

2

)log3

27

10

＞(

1

2

)log34∴(

1

2

)log3

27

10

+30＞(

1

2

)log34+30
∴f（log₃4）＜f（log₃30）即f（log₃m）＜f（log₃n）…（16分）