(1)∵f′(x)=p+-,要使f(x)为单调增函数,须f’(x)≥0恒成立, 即px2-2x+p≥0恒成立,即p≥=恒成立,又≤1, 所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数. 要使f(x)为单调减函数,须f’(x)≤0恒成立,即px2-2x+p≤0恒成立,即p≤=恒成立,又>0,所以当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数. 综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p的取值范围为p≥1或p≤0 (2)∵f′(x)=,,∴f’(1)=2(p-1),设直线l:y=2(p-1)(x-1), ∵l与g(x)图象相切,∴y=2(p-1)(x-1)得(p-1)(x-1)=,即(p-1)x2-(p-1)x-e=0 y=当p=1时,方程无解;当p≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0,得p=1-4e,综上,p=1-4e (3)因g(x)=在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e] ①当p≤0时,由(1)知f(x)在[1,e]上递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意 ②当p≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上递增,f(1)<2,又g(x)在[1,e]上为减函数, 故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e], 即:f(e)=p(e-)-2lne>2⇒p>③当0<p<1时,因x-≥0,x∈[1,e] 所以f(x)=p(x-)-2lnx≤(x-)-2lnx≤e--2lne<2不合题意 综上,p的取值范围为( ,+∞) |