已知函数f(x)=1a-1x(a＞0，x＞0)．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0，x＞0)．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

答案

证明：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∵f(x2)-f(x1)=(

1

a

-

1

x2

)-(

1

a

-

1

x1

)=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，
∴f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，
∴f(

1

2

)=

1

2

，f(2)=2，
∴a=

2

5

．