因f(x-4)=f(2-x),则函数的图象关于x=-1对称,∴-=-1,b=2a, 由(3),x=-1时,y=0,即a-b+c=0,由(1)得,f(1)≥1,由(2)得,f(1)≤1, 则f(1)=1,即a+b+c=1.又a-b+c=0,则b=,a=,c=,故f(x)=x2+x+. 假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x. 取x=1,有f(t+1)≤1,即(t+1)2+(t+1)+≤1,解得-4≤t≤0, 对固定的t∈[-4,0],取x=m,有f(t+m)≤m,即(t+m)2+(t+m)+≤m. 化简有:m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0,解得1-t-≤m≤1-t+, 故m≤1-t-≤1-(-4)+=9 当t=-4时,对任意的x∈[1,9], 恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0. ∴m的最大值为9. ∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于x=-1对称 ∴-=-1b=2a 由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0 由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1 ∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0 ∴a=b=c= ∴f(x)=x2+x+…(5分) 假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x 取x=1时,有f(t+1)≤1⇒(t+1)2+(t+1)+≤1⇒-4≤t≤0 对固定的t∈[-4,0],取x=m,有 f(t+m)≤m⇒(t+m)2+(t+m)+≤m⇒m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0⇒1-t-≤m≤1-t+…(10分) ∴m≤1-t+≤1-(-4)+=9 …(15分) 当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有 f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0 ∴m的最大值为9. …(20分) 另∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于x=-1对称 ∴-=-1b=2a 由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0 由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1 ∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0 ∴a=b=c= ∴f(x)=x2+x+=(x+1)2 …(5分) 由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立 ∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时,恒成立 令 x=1有t2+4t≤0⇒-4≤t≤0 令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时,恒有解 …(10分) 令t=-4得,m2-10m+9≤0⇒1≤m≤9 …(15分) 即当t=-4时,任取x∈[1,9]恒有 f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0 ∴mmax=9 …(20分) |