设函数f(x)=x+alnxx,其中a为常数.(1)证明:对任意a∈R,y=f(x)的图象恒过定点;(2)当a=-1时,判断函数y=f(x)是否存在极值?若存在
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设函数f(x)=x+alnxx,其中a为常数.(1)证明:对任意a∈R,y=f(x)的图象恒过定点;(2)当a=-1时,判断函数y=f(x)是否存在极值?若存在
题型:解答题
难度:一般
来源:锦州二模
设函数
f(x)=x+
alnx
x
,其中a为常数.
(1)证明:对任意a∈R,y=f(x)的图象恒过定点;
(2)当a=-1时,判断函数y=f(x)是否存在极值?若存在,求出极值;若不存在,说明理由;
(3)若对任意a∈(0,m]时,y=f(x)恒为定义域上的增函数,求m的最大值.
答案
(1)令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,
所以y=f(x)的图象过定点(1,1);
(2)当a=-1时,
f(x)=x-
lnx
x
,
f
/
(x)=1-
1-lnx
x
2
=
x
2
+lnx-1
x
2
令g(x)=x
2
+lnx-1,经观察得g(x)=0有根x=1,下证明g(x)=0无其它根.
g
/
(x)=2x+
1
x
,
当x>0时,g
/
(x)>0,即y=g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
所以g(x)=0有唯一根x=1;
且当x∈(0,1)时,
f
/
(x)=
g(x)
x
2
<0
,f(x)在(0,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,
f
/
(x)=
g(x)
x
2
>0
,f(x)在(1,+∞)上是增函数
所以x=1是f(x)的唯一极小值点.极小值是
f(1)=1-
ln1
1
=1
.
(3)
f
/
(x)=1+
a-alnx
x
2
=
x
2
-alnx+a
x
2
,令h(x)=x
2
-alnx+a
由题设,对任意a∈(0,m],有h(x)≥0,x∈(0,+∞),
又
h
/
(x)=
2
x
2
-a
x
=
2(x-
a
2
)(x+
a
2
)
x
当
x∈(0,
a
2
)
时,h
/
(x)<0,h(x)是减函数;
当
x∈(
a
2
,+∞)
时,h
/
(x)>0,h(x)是增函数;
所以当
x=
a
2
时,h(x)有极小值,也是最小值
h(
a
2
)=(
3
2
-ln
a
2
)a
,
又由h(x)≥0得
(
3
2
-ln
a
2
)a≥0
,得a≤2e
3
,即m的最大值为2e
3
.
举一反三
设函数
1-2
x
2
,(x≤1)
x
2
+3x-2,(x>1)
,则
f(
1
f(3)
)
=( )
A.
127
128
B.
-
127
128
C.
1
8
D.
1
16
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
关于函数
f(x)=lg
x
x
2
+1
,有下列结论:
①函数f(x)的定义域是(0,+∞);
②函数f(x)是奇函数;
③函数f(x)的最小值为-lg2;
④当0<x<1时,函数f(x)是增函数;当x>1时,函数f(x)是减函数.
其中正确结论的序号是______.(写出所有你认为正确的结论的序号)
题型:填空题
难度:一般
|
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下列函数单调增区间是(-∞,0]的是( )
A.y=
1
x
B.y=-(x-1)
C.y=x
2
-2
D.y=-|x|
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有( )
A.最小值-8
B.最大值-8
C.最小值-6
D.最小值-4
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知
f(x)=
1
x-1
,x∈[2,6]
(1)判断f(x)在定义域上的单调性; (2)求f(x)的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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