已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.(1)判断f(x)的奇偶

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.(1)判断f(x)的奇偶

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤
39

,求a的取值范围.
答案
(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)•f(-1),
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)为偶函数.
(2)若x≥0,则f(x)=f(


x


x
)
=f(


x
)
f(


x
)
=[f(


x
)
]2≥0.
若存在x0>0,使得f(x0)=0,则f(27)=f(x0
27
x0
)=f(x0)f(
27
x0
)=0
,与已知矛盾,
∴当x>0时,f(x)>0
设0≤x1<x2,则0≤
x1
x2
<1,
∴f(x1)=f(
x1
x2
x2)
=f(
x1
x2
)
•f(x2),
∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(
x1
x2
)
<1,
∴f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3
∴9=[f(3)]3
∴f(3)=
39


∵f(a+1)≤
39


∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,
∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞),
∵函数在[0,+∞)上是增函数.
∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,
故0≤a≤2.
举一反三
某种空气清洁剂在实验效果时,发现空气含剂量y(μg/m3)与时间x之间存在函数关系,其变化的图象如下图所示.其中的曲线部分是某函数y=log
1
2
(x+b)的图象(虚线部分为曲线的延展).图中表明,喷洒1小时后,空气含剂量最高,达到3μg/m3,以后逐步减小.
(1)求出空气含剂量y关于时间x的函数表达式及定义域.
(2)实验证明,当空气含剂量不低于2μg/m3时,空气清洁的效果最佳.求一次喷洒的“最佳效果”持续时间.

魔方格
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=x|x|,x∈R,满足(  )
A.是奇函数又是减函数B.是偶函数又是增函数
C.是奇函数又是增函数D.是偶函数又是减函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是(  )
A.y=x3B.y=x2C.y=x
1
2
D.y=x-2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(  )
A.y=-
1
x
B.y=e|x|C.y=-x2+3D.y=cosx
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为实数),满足a-b+c=0,对于任意实数x 都有f (x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f (x)≤(
x+1
2
)2

(1)求f (1)的值;
(2)证明:ac≥
1
16

(3)当x∈[-2,2]且a+c取得最小值时,函数F(x)=f (x)-mx (m为实数)是单调的,求证:m≤-
1
2
或m≥
3
2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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