已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列四个命题:①f(x)必是偶函数;②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于x=1对称;③若a2-b
题型:填空题难度:一般来源:南昌模拟
已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列四个命题: ①f(x)必是偶函数; ②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于x=1对称; ③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞]上是增函数; ④f(x)有最大值|a2-b|. 其中所有真命题的序号是______. |
答案
当a≠0时,f(x)不具有奇偶性,①错误; 令a=0,b=-2,则f(x)=|x2-2|, 此时f(0)=f(2)=2, 但f(x)=|x2-2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称,②错误; 又∵f(x)=|x2-2ax+b|=|(x-a)2+b-a2|,图象的对称轴为x=a. 根据题意a2-b≤0,即f(x)的最小值b-a2≥0, f(x)=(x-a)2+(b-a2),显然f(x)在[a,+∞]上是增函数, 故③正确; 又f(x)无最大值,故④不正确. 答案:③. |
举一反三
函数f(x)=lg(x2-4x)的单调递增区间是______. |
已知函数f(x)=. (1)判断该函数在区间(2,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)求该函数在区间[3,6]上的最大值和最小值. |
函数y=2x+log2(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为______. |
定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( ) |
设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ>0),画面的上、下各留8cm空白,左、右各留5cm空白. (1)用λ表示宣传画所用纸张面积S=f(λ); (2)判断函数S=f(λ)在(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (3)当λ取何值时,宣传画所用纸张面积S=f(λ)最小? |
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