若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=f(x)x在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x
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若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=f(x)x在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而
F(x)=
f(x)
x
在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”
(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x)=x
2
+4x在x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要说明理由.
(2)证明函数h(x)=x
2
+a
2
x+4(a是常数且a∈R)在(0,1]上是“弱增函数”.
答案
(1)由于f(x)=x+4在(1,2)上是增函数,且F(x)=
f(x)
x
=1+
4
x
在(1,2)上是减函数,
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函数”,g(x)=x
2
+4x在(1,2)上是增函数,但
g(x)
x
=x+4
在(1,2)上不是减函数,
所以g(x)=x
2
+4x+2在(1,2)上不是“弱增函数”.
(2)因为h(x)=x
2
+a
2
•x+4的对称轴为x=-
a
2
2
≤0,开口向上,所以h(x)在(0,1]上是增函数.
下面证明函数F(x)=
h(x)
x
=x+
4
x
+
a
2
在(0,1]上是减函数.
设0<x
1
<x
2
≤1,
则
F(
x
1
)-F(
x
2
)=(
x
1
+
4
x
1
+
a
2
)-(
x
2
+
4
x
2
+
a
2
)=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-4)
x
1
x
2
,
∵0<x
1
<x
2
≤1,∴x
1
-x
2
<0,0<x
1
x
2
<1,
∴
F(
x
1
)-F(
x
2
)=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-b)
x
1
x
2
>0
,即F(x
1
)>F(x
2
).
所以F(x)在(0,1]上单调递减,
所以h(x)在(0,1]上是“弱增函数”;
举一反三
已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )
A.(0,10)
B.(10,+∞)
C.
(
1
10
,10)
D.
(0,
1
10
)∪(10,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x
8
)=log
2
x,则f(16)的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数f(x)=
x
2
+1,(x≤1)
lgx,(x>1)
,则f(f(10))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数f(x)=
x
1
2
,x≥4
lo
g
2
x,0<x<4
,则f(f(4))=( )
A.0
B.1
C.
2
D.2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=(m-1)x+
1
x
,且f(1)=2;
①求出函数f(x)的解析表达式,并判断奇偶性;
②证明函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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