(Ⅰ)f(x)在[-1,1]上为增函数 证明:设x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,在>0中,令a=x1,b=-x2,有>0, ∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x2)=-f(x2),∴>0 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 故f(x)在[-1,1]上为增函数…(6分) (Ⅱ)∵f(1)=1 且f(x )在[-1,1]上为增函数,对x∈[-1,1],有f(x)≤f(1)=1. 由题意,对所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f(x)≤m2-2bm+1恒成立, 应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0. 记g(b)=-2mb+m2,对所有的b∈[-1,1],g(b)≥0成立. 只需g(b)在[-1,1]上的最小值不小于零…(8分) 若m>0时,g(b)=-2mb+m2是减函数,故在[-1,1]上,b=1时有最小值, 且[g(b)]最小值=g(1)=-2m+m2≥0⇒m≥2; 若m=0时,g(b)=0,这时[g(b)]最小值=0满足题设,故m=0适合题意; 若m<0时,g(b)=-2mb+m2是增函数,故在[-1,1]上,b=-1时有最小值, 且[g(b)]最小值=g(-1)=2m+m2≥0⇒m≤-2. 综上可知,符合条件的m的取值范围是:m∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞). |