已知函数f（x）=a﹣．（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

已知函数f（x）=a﹣

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）=a﹣

，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂﹣x₁＞0．
f（x₁）﹣f（x₂）=（a﹣

）﹣（a﹣

）=

﹣

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由题意a﹣

＜2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+

，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（﹣∞，3]．

举一反三

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的，且u、υ∈（﹣1，1），都有|f（u）﹣f（υ）|≤3|u﹣υ|．
（1）判断函数

是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，试求2a+b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当x∈[m，2]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示m的表达式．

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已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，则实数m的取值范围为（）.

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已知f（x）=x⁴﹣4x³+（3+m）x²﹣12x+12，m∈R．
（1）若f"（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

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（选做题）已知2x+3y+z=4，求x²+y²+z的最小值（）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，F（x）=

求
F（2）+F（﹣2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立，试求b的取值范围．

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