已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三条: ①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有
题型:解答题难度:一般来源:专项题
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三条: ①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 解答下列问题: (Ⅰ)求f(0)的值; (Ⅱ)函数g(x)=2x-1在[0,1]上是否同时满足①②③? (Ⅲ)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1]且f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0。 |
答案
解:(Ⅰ)令x1=x2=0,f(0)≥f(0)+f(0),f(0)≤0, 又x∈[0,1]时,f(0)≥0, ∴f(0)=0. (Ⅱ)当x∈[0,1]时,2x∈[1,2], ∴2x-1∈[0,1], ∴满足条件①; 又g(1)=21-1=1, ∴满足条件②; 设x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则, , , ∵x1≥0,x2≥0, ∴, ∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2), ∴满足条件③, ∴同时满足①②③. (Ⅲ)任给m,n∈[0,1],若m<n,f(m)≤f(n), 假设若x0<f(x0),则f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾; 同理若x0>f(x0),则f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾; ∴假设不成立, ∴f(x0)=x0。 |
举一反三
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