已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）。（1）若函数f（x）在区间（0，）内是减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a

题型：解答题难度：困难来源：广东省模拟题

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）。
（1）若函数f（x）在区间（0，）内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程h（a）=m（a+）有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）∵
∴
∵函数f（x）在区间（0，）内是减函数
∴在上恒成立
即在上恒成立。
∴
∴
故实数a的取值范围为[1，+∞）。
（2）
令f"（x）=0，得x=0或
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f"（x）>0，所以f（x）在区间[1， 2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a。
②若，即，则当1≤x≤2时，f"（x）>0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a。
③若，即，则当时，f"（x）＜0
当时，f"（x）>0
所以f（x）在上是减函数，在上是增函数
所以。
④若a≥3，即，则当1＜x＜2时，f"（x）＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上是减函数
所以h（a）=f（2）=8-4a。
综上得。（3）由题意有两个不相等的实数解，即（2）中函数h（a）的图象与直线y=有两个不同的交点，而直线y=恒过定点由图知实数m的取值范围是（-4，-1）。