试讨论函数f(x)=x+(a≠0)在(0，+∞)上的单调性。

题型：解答题难度：一般来源：同步题

试讨论函数f(x)=x+(a≠0)在(0，+∞)上的单调性。

答案

解：任取x₁，x₂∈(0，+∞)且x₁＜x₂，
则
，
若a＜0，则由x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＞0知f(x₂)-f(x₁)＞0，即f(x₂)＞f(x₁)，
由单调性定义可知，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
若a＞0，
则当0＜x₁＜x₂≤时，会有x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＜0，因此f(x₂)-f(x₁)＜0，即f(x₂)＜f(x₁)；
当x₂＞x₁＞时，会有x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＞0，因此f(x₂)-f(x₁)＞0，即f(x₂)＞f(x₁)，
由单调性定义可知f(x)在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增；
综上可知，当a＜0时，f(x)=x+在(0，+∞)上单调递增；
当a＞0时f(x)=x+在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增。